nヶ月間保管されるデータの月額保存料金から当月の増加分に想いを馳せる 2

オタクはすぐ何でも一般化する
s_i を構成する要素を考える
風呂敷をさらに畳む
まとめ

kesumita.hatenablog.com

オタクはすぐ何でも一般化する

前回の記事では、前月と当月のストレージ増分の変化（差や比）が一定の値になるパターンを考えました。

より一般的に考えるとどうなるでしょうか。

システムの運用開始月のストレージ量を s_1、その翌月が s_2、... というようにすると、データの保持期間を n ヶ月とした場合の運用開始から i ヶ月目のストレージ量 $\displaystyle{S^ n_ i}$ は

$\begin{align} S^n_i = \sum_{j=1}^n s_{i-j+1} = s_i + s_{i-1} + \cdots + s_{i-n+1} \end{align}$

となるでしょう。

前回の記事の前提に則ると、知ることができるのはこの n ヶ月分の合計だけになるので、ここから話を取る前の $\displaystyle{s_ i}$ を求めましょうという問題になります。

s_i を構成する要素を考える

このストレージ量 $\displaystyle{s_ i}$ に主に寄与する要因は何かを考えます。

例えば適当なECサイトを考えると、アクティブユーザー数や商品数などが挙げられると思います。

まぁ EC サイトエアプ勢なので解像度の低い理解なのは何卒ご容赦ください…。

ともあれ、 $\displaystyle{s_ i}$ が m 個の主要なファクター $\displaystyle{a _ {i1}, a _ {i2}, ..., a _ {im}}$ でほぼ表せたとしましょう。そして、これらのファクターは測定可能だとします。

$\begin{align} s_i = s_i(a_ {i1}, a_ {i2}, ..., a_ {im}) \end{align}$

…このままだと何もできないので、ここから一般化して広げた風呂敷を畳みにいきます。

それぞれ一次の寄与が支配的だとしましょう。要するに $\displaystyle{a _ {i1}, a _ {i2}, ..., a _ {im}}$ の線型結合で表せるとしましょう。

$\begin{align} s_i = \sum_{k=1}^m c_{ik}a_{ik} \end{align}$

そうすると、 $\displaystyle{S^ n_ i}$ は、

$\begin{align} S^n_i & = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^m c_{i-j+1, k}a_{i-j+1, k} \\ & = \sum_{k=1}^m c_{ik}a_{ik} + \sum_{k=1}^m c_{i-1, k}a_{i-1, k} + \cdots + \sum_{k=1}^m c_{i-n+1, k}a_{i-n+1, k} \end{align}$

です。

もっと単純化して、一つの支配的なファクターとその係数だけで十分近似できるとしてみます。要するにこういうことです。添字 $\displaystyle{c _ {im}}$ の m 依存性はなくしました。

$\begin{align} s_i = c_{i}a_{i} \end{align}$

そうすると、 $\displaystyle{S^ n_ i}$ は、

$\begin{align} S^n_i & = \sum_{j=1}^n c_{i-j+1}a_{i-j+1} \\ & = c_{i}a_{i} + c_{i-1}a_{i-1} + \cdots + c_{i-n+1}a_{i-n+1} \end{align}$

ですよね。

で、この式は何を意味するのでしょうか？

$\displaystyle{a _ {1}, a _ {2}, ..., a _ {n}}$ は測定できる値だと仮定したので、ストレージ量に一番作用しそうだと決めたファクター（アクティブユーザー数、商品数、とか）の値を n ヶ月分集めることが必要です。

そうやって集めた値を代入して、未知数 $\displaystyle{c _ {1}, c _ {2}, ..., c _ {n}}$ を求めることになります。

なので、保存期間の分だけ未知数がある方程式を解かないといけないことになります。

やっぱりこれ以上は何もできないので、当月と前月の総ストレージ量の差分を取ります。

$\begin{align} S^n_i - S^n_{i-1} = c_{i}a_{i} - c_{i-n}a_{i-n} \end{align}$

これは前回の記事の冒頭で、次のように書いていた箇所のことを言っているだけですね。

当月：10月・9月・8月

前月：9月・8月・7月

となって 当月 - 前月 = 10月 - 7月 のようにオマケの項「7月分」がついてくるからです。

結局、ある月のストレージ量と最も寄与すると考えるファクターの比が、当月分 $\displaystyle{c _ i = \frac{s_i}{a_i}}$ とnヶ月前の分 $\displaystyle{c _ {i-n} = \frac{s _ {i-n}}{a _ {i-n}}}$ について必要になるので、未知数が2つで式が1つの方程式になりそのままでは解けない訳です。